Geometría
TEOREMA DE THALES
Primer Teorema de Thales
Si por
un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen
dos triángulos semejantes, es decir, que tienen los ángulos iguales y los lados
proporcionales.
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Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C' semejante a ABC. Es decir, cuyos
ángulos son iguales y cuyos lados
son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula B=B’
y C=C’ |
Nota: en una proporción es posible:
(a)
alternar los términos medios
(b)
alternar los términos extremos
(c)
invertir las razones
(d)
permutar las razones
(e)
componer o
descomponer la proporción respecto al
antecedente
o al consecuente de cada razón
Ejemplo 1:
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En el
triángulo de la derecha, hallar las
medidas de los segmentos a y b. Aplicamos la fórmula, y tenemos |
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Como vemos, la principal
aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de
la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el
siguiente corolario.
Del primer teorema de Thales se deduce además
lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez,
consecuencia de este): Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan
a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son
proporcionales.
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Del primer teorema
de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a
su vez, consecuencia de este) Si
dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’,
BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son
proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).  |
Ejemplo 2:
Dividir el segmento AB en 3 partes
iguales
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1. Se dibuja una semirrecta de origen el
extremo A del segmento. |
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2. Tomando como unidad cualquier
medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A. |
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3. Por
cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última
división sobre la semirrecta. Los puntos
obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide. |
Segundo teorema
El segundo teorema de
Thales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los
triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste
en el siguiente enunciado:
Segundo Teorema de
Thales:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de
C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
CONSECUENCIAS:
Por las propiedades
de las proporciones como se cumple que OA'+A'B' = OB' y OA+AB = OB, tendremos
que
Si trazamos una paralela por A' a la recta
OB y aplicamos el último resultado tomando como
vértice a B' en lugar de O:
Y como CB = A’A tenemos que
TALLER 10
1. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:
2. Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:
3. Calcular cuál debe
ser la longitud, a, de los lados de un triángulo equilátero para que su área sea
4. Usa el teorema de Tales para calcular x
5. Calcula el valor de x aplicando el teorema de Tales
6. Halla x e y aplicando el teorema de Tales
7. Halla x aplicando
el teorema de Tales
8. Halla x aplicando
el teorema de Tales
9.
Las baldas de una repisa representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes de la repisa representadas como x e y.
